martes, septiembre 26, 2006

El mono de la máquina de escribir

La probabilidad tiene algunas consecuencias curiosas.

Por ejemplo, se puede demostrar de manera sencilla (y eso es lo que vamos a hacer) que un mono situado frente a una máquina de escribir que se dedique exclusivamente a teclear al azar por los siglos de los siglos (considérese un mono fuertote) eventualmente escribirá cualquier texto que haya sido escrito por la humanidad, amén de otros que nos abrirán las puertas del conocimiento, como el Necronomicón o la receta de la Coca-cola.Sí, como suena.Es algo realmente sencillo de entender:

Primero, he contado el numero de teclas de mi teclado que sería necesario para escribir la mayoría de los mejores textos de la humanidad (aunque algunas perlas de matemáticas y física se perderían), y creo que con 50 bastará (los números, las letras, la barra espaciadora y algunas más).Suponiendo que el monito teclease realmente al azar (esto es algo difícil de conseguir, pero supondremos que el mono lo logra), la probabilidad de que pulse una tecla determinada es de 1/50, uno entre 50 o del 2%, si así resulta más visual.Ahora bien, ¿qué es un texto? Pues básicamente una secuencia de caracteres (letras, numeros y espacios) ordenados de manera que tengan sentido.Ahora veremos que nuestro mono se convierte en literato.

Empecemos con algo sencillo:escribir la palabra "blog".Si el mono teclea al azar, ¿cuál es la probabilidad de que teclee la palabra "blog"?Para simplificar los cálculos, supondremos que el mono escribe bloques separados de 4 letras.Consideraremos que ha escrito dicha palabra cuando en uno de los bloques salga la palabra "blog".En el caso de que quisiéramos obtener un texto de n letras, consideraríamos bloques de n letras.Esto provoca que la probabilidad que obtengamos al final del calculo sea una estimación a la baja, la probabilidad real de que el mono haya escrito lo que queremos que escriba es más alta.

Si la probabilidad de que escriba una letra determinada es de 1/50, la de que escriba 2 letras determinadas es una entre 2500, y la probabilidad de que escriba 4 letras determinadas (p.ej. la palabra blog) es de una entre 50x50x50x50=50^4=31250000.O de un 0.000016%.Por tanto, la probabilidad de que no escriba la plabra blog es del 99.999984%.Por tanto, la probabilidad de que no se haya escrito la palabra tras n bloques es p(n)= 0.999984^n*.Pero esta sucecisón es decreciente :).Calculemos su valor para, digamos, n=15.000.000.Sale p(n)=0.09, es decir, que tras haber escrito 15 millones de bloques (60 millones de caracteres) la probabilidad de que la palabra blog no haya salido en alguno de los bloques es tan sólo del 9%.La generalización a textos más grandes es evidente.

Consideremos, por ejemplo El Quijote, de Cervantes(supongamos que tiene, p.ej. 10000000 de caracteres, aunque esta es una suposicion arbitraria).¿Cuánto tiempo le llevaría a nuestro mono escribir el Quijote, con, digamos, un 99% de probabilidad? Me había propuesto calcularlo usando software como Mathematica, pero para mi sorpresa la respuesta es un número tan extremadamente grande que ni Mathematica puede con el O_O.En todo caso, y para que no me consideréis un chapuzas, os diré que el número está sin lugar a dudas por encima de 10^600000, un 1 seguido de seiscientos mil ceros.Que no es poco, el mono sin duda deberá tener afan tecleador.

Esto puede darnos una idea de la vastedad del infinito:Con suficiente tiempo, podríamos escribir cualquier cosa.La receta del fuego griego.La pueba de la Conjetura de Goldbach.La Teoría Unificada de la física.El diario secreto de Colón.Una narración cronológica de toda la Hsitoria de la Humanidad tremendamente exacta.Las posibilidades serían ilimitadas.

...pero probablemente eso no va a suceder ;). Un saludo.

*Si la probabilidad de un suceso es A, la probabilidad de que se repita es A · A=A^2.La de que se repita 3 veces, A^3, y así sucesivamente.Esto no es sino una forma de una ley fundamental de la probabilidad que dice que si un suceso A tiene probabilidad p(A), y un suceso B, probabilidad p(B), la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es p(A)·p(B), suponiendo que sean eventos independientes (que uno no influya sobre el otro).

7 comentarios:

.raT dijo...

Hola Smaigol, soy .raT del foro de MiGui.
Muy interesante el tema de la probabilidad.
Estoy a tu disposición por si hace falta contribuir en éste blog.
Saludos.
.raT

cepo dijo...

Buenas Smaigol,
Soy lector, que no participante por falta de conocimientos, del foro de Migui.
Tú artículo tiene similutud a lo siguiente.
La parte decimal del número pi, tiene toda la información existente en el universo. Cualquier pregunta que se nos ocurra está respondida en el múmero pi.
Si identificamos cada uno de los 50 caracteres que tu comentas, del 1 al 50, u otra forma de codificación que quieras (binaria, por ejemplo), en pi seguro que nos encontramos un programa que nos permita ver la película Casablanca (que también está ahí metida), la teoría de cuerdas, el sentido de la vida, tus más íntimos secretos y todo lo que cualquiera que lea esto quiera saber.
El principal problema es que no tenemos tiempo para indagar, pero estar está ahí. Nos encontramos con el mismo problema que tú mono, la falta de tiempo.
Todo lo que queramos saber está en la parte decimal de pi.

Gonzalo Larumbe dijo...

Muy interesante Smaigol.Soy Numerarius, del foro de migui. ¿Conoces el cuento de Borges "La Biblioteca de Babel"? Trata de un tema parecido.

Carlos Alberto Carcagno dijo...

Hola:

En Matemáticas todo ocurre como si el que la practica tuviera por delante la posibilidad de vivir eternamente y de repetir indefinidamente una acción.

Estos razonamiento son muy interesantes y curiosos. Llegan a despertar un sin fin de anhelos, sueños, vocaciones y formas de ver y vivir la vida, aún la indiferencia de algunos, por supuesto. Pero uno puede imaginar a un Carl Sagan o a la dulce Jodie Foster de Contactos perdiéndose en lo que Víctor Hugo llamó el abismo absorbente.

Pero todo esto de la Matemática, a la que amo, es arquetípico, metafísico e ideal. ¿Qué le pasaría a un universo en expansión en una eternidad? ¿Sería físicamente posible un hecho tal?

Me confieso impotente e ignorante para dar una respuesta.

Felicitaciones por el blog y mis saludos a todos.

De paso, los invito a mi blog http://charlymatblog.blogspot.com/ y les pregunto si se pueden editar fórmulas matemáticas y cómo.

Carlos Alberto Carcagno
D.N.I.Nº 08.511.149
cacarcagno50@gmail.com
cacarcagno@yahoo.com.ar

HectorTroya dijo...

Artículos muy interesantes en este blog, se que ésta pregunta quizas sea trivial...o quizas no, ¿el mono podría escribir con la cola tambien? ¿escribe con solo dos de sus patas? o ¿es irrelevante si escribe con tal o cual parte del cuerpo, sean patas y/o colas? ...Sigan colocando artículos interesantes

Los invito cordialmente a leer mi blog, que trata de matemáticas, computación y otros temas.
http://unmundosinpasswords.blogspot.com

Saludos. HectorTroya

Rafa dijo...

Salute
Hay un cuento muy lindo de Jorge Luis Borges en el que trata este asunto aunque con un enfoque diferente (más bien que por la probabilidad con la combinatoria). Es "La biblioteca de Babel" que está en el libro "Ficciones".Considera alguna posibilidades como las versiones apócrifas y con faltas de ortografía de cada una de las obras que se ha escrito y se escribirán, lo que le da al asunto un rumbo atractivo.
Saludos

JaimemathUAM dijo...

Realmente esto funciona sólo matemáticamente, dado que el infinito actual no se puede sacar del contexto abstracto como si ocurre con el infinito potencial. Al decir que el suceso "terminará" o "acabará" ocurriendo, el propio lenguaje ya desenmascara el error lógico -se está acotando el infinito-; el infinito no acaba, siempre habrá un tiempo más allá, que no llega nunca en el tiempo físico, donde podría ocurrir el suceso; hay que verlo únicamente en abstracto. Esto que digo no lo digo yo, sino los matemáticos lógicos de vanguardia; se pueden encontrar interesantes debates sobre esto en rinconmatematico.com, por ejemplo.