Un saludo y manos a la obra!

¡Hola a todoos! :D

Parece que voy a ser el primero en escribir un artículo en el blog de Matemáticas, y espero que pronto se añadan muchos más, tanto al de Mates como a los otros blogs.También espero que os resulte interesante el artículo, el tema es curioso y poco conocido.

Se trata de lo que en inglés se conoce como "Sphere eversion", y que básicamente consiste en, dada una esfera, conseguir darle la vuelta sin practicar ningún corte en su superficie.Para que nos entendamos, imagina un balón de fútbol.Sin hacerle un corte y sin practicarle agujero alguno, ¿podrías darle la vuelta, es decir, que la cara de dentro acabase fuera y viceversa?
Seguramente estés pensando que esto es imposible.Y efectivamente lo es, al menos en el mundo real.Sin embargo, ocurre que en el mundo de los matemáticos las reglas son algo distintas: Aunque se prohíbe hacer cortes o agujeros en la esfera, ésta puede estirarse todo lo que se quiera, como si fuera de goma, y atravesarse a sí misma.

Puede que en este punto alguien un poco avispado esté pensando que entonces el problema es trivial, pues bastaría con "agarrar" el hemisferio sur de la esfera y empujarlo a traves del interior de la misma para que atravesase el hemisferio norte vuelto del revés.Pero eso no es darle la vuelta a la esfera.Lo que nos queda es más o menos la figura que aparece en el link:

http://www.geom.uiuc.edu/docs/ outreach/oi/Frames/tiff/ 01/1.6/290.comp.tiff

Ese saliente en el ecuador no puede ser eliminado sin cortar la esfera.Así que este método no vale.¿Cual es, pues la solución?

Hay varias, pero ninguna anterior a 1950.Es un problema complicado.Y si es difícil de resolver, aun lo es más de visualizar.Juzgad vosotros mismos:

http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/evert.mpg

¿Chungo, eh? Yo aún no he sido capaz de visualizar todo el proceso.Solamente fijaos en que se cumplen las reglas: no hay cortes ni agujeros, sólo deformaciones y autointersecciones.

Introduzcámonos algo más en el formalismo matemático.Matemáticamente, ¿qué estamos haciendo al deformar así la esfera?Pues lo que se denomina una homotopía.Quien sepa algo de griego habráintuido el significado de esta palabra: Homo significa "igual" y topos, "lugar".Por tanto "homotopía" vendría a significar "lugares iguales o equivalentes": La homotopía es una relación entre dos curvas del plano o dos superficies del espacio de manera que se conservan todas las características topológicas (entre las que se encuentran los agujeros, nudos...).Por ejemplo, uno puede deformar un círculo en una elipse mediante una homotopía, pero no se puede transformar una esfera en un donut (si la esfera no tiene agujeros, y la homotopia conserva esta caracteristica, no podemos llegar a obtener una figura con agujeros).Ahora quedará claro por qué no podíamos realizar agujeros al intentar invertir la esfera:De haber sido capaces de hacer agujeros, podríamos haber cambiado una propiedad topológica (el numero de agujeros) que una homotopía no puede cambiar.

Para los que estén interesados en el auténtico formalismo, una homotopía entre dos curvas f y g(variedades k-dimensionales, con k R^n diferenciable en cada punto tal que F(s,0)=f y F(s,1)=g.Aquí, s es un punto de [0,1]^k.En otras palabras, F es una función tal que cuando el parámetro t vale 0 se reduce a la función f y cuando t vale 1 se reduce a g.Podemos identificar t con el tiempo.En este sentido, la función F viene a ser como una película:Cada valor de t entre 0 y 1 nos da un "fotograma" del proceso de deformación.Si hiciéramos una animación con las curvas correspondientes a todos los valores de t como fotogramas, veríamos el proceso de deformación de la curva f en g como si de una película se tratase.En circunstancias, dependiendo de la homotopía, puede que f y g incluso sean variedades de distinta dimensión (por ejemplo, existe una homotopía entre el toro y el círculo).

Bueno, ahí queda mi primer artículo :).Espero que no haya sido demasiado pesado.Antes de acabar, un par de referencias:

http://mathworld.wolfram.com/Homotopic.html : Aquí tenéis una animación de la homotopía entre el toro y el círculo.

http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/: Excelente página divulgativa sobre la inversdión de la esfera.La animación que os he puesto antes proviene de aquí.Pega:Está en inglés :(

Un saludo.